Démonstration et vérité

 

 

La volonté de démontrer est apparue en Grèce antique, elle est contemporaine de l’essor de la science comme de la philosophie. Aussi ne doit-on admettre pour véritable que ce qui a été démontré par la raison. Les arguments relevant de l’autorité ou des croyances ne suffisent plus alors pour fonder les connaissances.

Initialement présents dans le domaine des  mathématiques, la démonstration s’étend aussi aux opinions que l’on cherche à fonder sur des arguments convaincants (convaincre # persuader). Les dialogues de Platon traduisent  cette volonté de prouver par une suite de raisonnement logique la validité d’une théorie ou d’une idée. En effet démonter ce n’est pas imposer mais fonder un raisonnement sur des preuves qui conduisent à une certitude.  Ainsi la science va se constituer en opposition aux croyances par le fait qu’elle a recours aux démonstrations. Mais la  démonstration est-elle un gage absolu de vérité ?  N’y a-t-il pas une limite à la démonstration ? En effet ne faut-il pas dans la démonstration recourir à des principes qui, eux-mêmes sont indémontrables ? En d’autres termes la démonstration  permet-elle de parvenir à une vérité  parfaite ?

 

I/ La logique

La logique a été élaborée par Aristote (384-322) au  IVème siècle av. J.C. Cette étude  avait pour objectif de lutter contre les sophistes qui exploitaient leurs talents d’orateurs pour manipuler leur auditoire en utilisant des raisonnements spécieux ou« sophismes». Les sophismes sont des raisonnements incorrects qui ont toutefois une apparence de vérité.  

La logique d’Aristote établit les règles du raisonnement correct, ou encore valide. La forme élémentaire en est le syllogisme dont l’exemple le plus connu est le suivant : Si tous les hommes sont mortels et si Socrate est un Homme alors Socrate est mortel.   Il s’agit d’un raisonnement en trois points, tel que la conclusion découle nécessairement des prémisses (propositions de départs). Un raisonnement sera valide s’il est cohérent, c’est-à-dire si ses propositions découlent nécessairement les unes des autres. La démonstration consisté à déduire logiquement une conséquence à partir de prémisses. C’est ce type de démonstration qu’on utilise souvent dans les mathématiques. (Si A = B et si B = C   alors A=C).

Cependant le raisonnement logique peut-être valide mais néanmoins faux si les prémisses sont erronées. Un syllogisme peut être logiquement bien construit mais matériellement faux. On distingue alors ce qui est valide et ce qui est vrai. (ex : de syllogisme valide mais faux : Si tout ce qui est rare est cher et si un cheval bon marché est rare alors un cheval bon marché est cher). Il faut donc distinguer la validité d’un raisonnement ou sa vérité formelle et sa vérité matérielle (son accord ou sa correspondance avec la réalité).

II /Le problème du fondement de la démonstration :

Toute démonstration repose sur des prémisses qui en constituent le point de départ (tous les Hommes sont mortels est le point de départ du syllogisme cité plus haut). Comment être certain que les prémisses soient vraies ?  Si l’on veut démontrer les prémisses d’un raisonnement, il faudra recourir à un nouveau raisonnement qui lui-même s’appuiera sur d’autres prémisses qu’il faudra à nouveau démontrer risquant ainsi de nous perdre dans une régression à l’infini.

C’est pourquoi le plus souvent t on a recours à l’expérience pour s’assurer du bienfondé des prémisses. (la prémisse tous les hommes sont mortels semble vrai car conforme à l’expérience courante puisqu’on a jusqu’ici jamais rencontré de personne immortelle mais il s’agit quand même d’une généralisation ce qui est  problématique lorsqu’on recherche une certitude absolue gage de vérité). L’expérience parce qu’elle est nécessairement limitée n’est pas une base certaine.  Sur quelles bases fonder les démonstrations si l’expérience ne présente pas de vérité nécessaire  mais que des vérités probables ?

 

 

III / La méthode géométrique

 

Selon Pascal dans L'Esprit de la géométrie, c'est ce qu’il nomme  la mathématique, et plus exactement la géométrie, qui fournit à la connaissance le modèle  de la démonstration : il ne faut employer aucun terme sans en avoir d'abord expliqué le sens, et n'affirmer que ce que l'on peut démontrer par des vérités déjà connues jusqu’à ce qu’on parvienne à des termes absolument évidents.  Ainsi si  l’on prend la notion de  triangle, on trouve dans sa définition même le fait qu’il possède trois angles. On pourra dans toute démonstration sur les triangles utiliser cette propriété sans risque d’erreur.

 

C'est ce modèle que retient Descartes : il s’agit de déduire des vérités de plus en plus complexes à partir d'idées claires et distinctes que l’on saisi par une intuition intellectuelle (une vision claire et évidente de l’esprit). Ainsi lorsque Descartes remet en doute toutes ses connaissances, il découvre finalement une première certitude avec le Cogito (le « je pense donc je suis ») car l’esprit saisi avec évidence que pour penser il faut être.

 

 Cependant l’évidence peut-elle constituer le fondement  de tous nos raisonnements  ?

 

Leibniz montre qu'on ne peut généraliser cette méthode : toutes les déductions reposent en effet sur des termes primitifs indéfinissables, mais réputés parfaitement clairs et évidents. Or, pour Leibniz, l'évidence est un critère qui reste subjectif : quand on se trompe, on prend une erreur pour une évidence, en sorte que l'évidence n'est pas à elle seule le signe de la vérité.

Kant, surtout, va démontrer que la méthode géométrique n'a de sens qu'en mathématiques : la définition du triangle indique ce qu'est l’essence du triangle, mais pas s'il existe réellement quelque chose comme un triangle dans la nature. La méthode géométrique est donc incapable de passer de la définition ou de l’essence au plan de l'existence concrète.

Cela n'a aucune importance en mathématiques : peu importe au mathématicien que le triangle existe réellement : pour lui, la question est simplement de savoir ce que l'on peut démontrer à partir de la définition du triangle et des axiomes de la géométrie.

Mais dans d’autres domaines c’est bien la question de l’existence qui est importante.  

IV/  Forces et limites de la démonstration

La démonstration est impliquée dans toute démarche rationnelle et scientifique. Elle fait appelle  à la logique et s’oppose ainsi à toute tentative pour imposer une vérité de manière dogmatique (affirmer sans preuve) Cependant  le problème du fondement de la démonstration montre que son point de départ ne peut être une démonstration faute d’entrer dans une régression à l’infini. Ce point de départ peut alors situer dans l’expérience mais celle-ci étant nécessairement limitée, on aura une vérité probable mais jamais absolument certaine. (Il faudra en effet passer par induction d’un grand nombre de cas particuliers à une règle générale). On peut encore situer le point de départ de la démonstration dans une évidence intellectuelle mais avec le risque de confondre l’évidence et le présupposé. Ce qui est évident pour notre esprit ne l’est pas nécessairement. Ainsi le principe « le tout est plus grand que la partie » paraît évident pourtant le mathématicien Dedeking a pu établir une démonstration dans laquelle il contredit cette évidence intuitive si on prend un ensemble de nombre infini.

Ainsi puisque la démonstration ne paraît pas absolument fondée et elle ne suffit pas à nous garantir la vérité. Il faut encore ajouter d’autres types de preuves comme les preuves expérimentales qui peuvent confirmer ou infirmer une démonstration. Pour Pascal il existe aussi des vérités du cœur ou de la foi qui échappe à toute démonstration.  La confiance qu’on apporte à la démonstration dépend de la confiance que l’on accorde au pouvoir de notre raison. Mais si l’on rejette la démonstration ne risque t-on pas de tomber dans le scepticisme.